Diario 7ª práctica PA2 30/10/2013

Elaborado por Pablo Sánchez

Asisten 37 personas

En la clase práctica de hoy, empezamos repasando lo que habíamos dado en la clase teórica de ayer, acerca de cómo Piaget estructura el método educativo y sobre el vídeo que Josetxu nos puso en clase.

En primer lugar, Josetxu nos enseñó una prueba que realizó con unos 70 niños de Gijón. En esa prueba aparecía la foto de tres conejos y de dos perros, con una serie de preguntas a las que yo tuve que responder: “¿Cuántos perros hay?” “¿Cuántos conejos hay?” “¿Cuántos perros y conejos hay?” “¿De qué hay mayor numero, de conejos o de animales?”

Otra parte de la prueba, era una imagen en la que aparecían tres bolas de distinto tamaño 1,2,3 y tres cuadrados A,B,C en donde había que meter la bola más grande en el cuadrado más grande y así sucesivamente. Sabíamos cuál era el cuadrado más grande porque hacia él iban todas las flechas, el mediano porque de él salía una flecha y llegaba otra y el más pequeño porque a él no le llegaba ninguna flecha.

            Más tarde Josetxu nos volvió a hablar de la teoría de Piaget, diciendo que es similar a las matemáticas escolares, y nos enseñó su libro “Introducción a la epistemología genética” para mostrarnos lo difícil que era comprender a Piaget si no se tenía conocimiento de las matemáticas.

A continuación, Landy nos leyó lo que era el aprendizaje para Piaget, en donde se distinguen tres tipos: Sociales, físicos y lógico-matemáticos.

            Para Piaget existen tres principios en la educación:

-El primero nos dice que para educar mejor, hay que utilizar un objeto como ejemplo.

-En el segundo se dice que muchas veces sabemos realizar una acción, pero no sabemos expresar verbalmente por qué la hacemos.

-El tercero y último, nos dice que hay que buscar una estructura intermedia entre las matemáticas formales y las informales.

Para explicar este último principio, Raquel, Dani y Yanina salieron a la parte de delante de la clase para ejemplificarnos en qué consistía el inicio, la acción y el final.

Para esto también vimos unas imágenes de triángulos en los que si por ejemplo yo tengo siete, y quito dos, ¿Cuántos me quedan?”

            Para acabar, Josetxu nos explicó la tarea del péndulo, en donde nos dijo que tenemos que analizar cada cosa del péndulo peso, fuerza, altura... etc. para ver qué es lo que hace que se mueva con mayor rapidez, y de estos factores, el que hace que el péndulo vaya más rápido o más despacio es la longitud.

Principios psicopedagógicos de Jean Piaget para la enseñanza de las matemáticas 

El primer principio psicopedagógico planteado por Piaget se resume en la frase que afirma que la comprensión real de una noción o de una teoría supone la reinvención de la misma por el sujeto. Tesis que muy a menudo se ha interpretado de una forma estrecha, identificando sin más a Piaget con los partidarios del aprendizaje por descubrimiento. Para entender que esto no es así, es preciso recurrir a su caracterización de los procesos de aprendizaje, Como es sabido, para la escuela de Ginebra el aprendizaje se realiza mediante un proceso constructivo interno, de reorganización cognitiva, de equilibración a base de asimilaciones y acomodaciones en el que las contradicciones o conflictos cognitivos cumplen el papel de motores del mismo, Proceso que depende del nivel de desarrollo y en el que la experiencia física y la interacción social se sitúan como condiciones necesarias (aunque no suficientes) para producir el aprendizaje. Si a esta escueta caracterización le añadimos la distinción entre los diferentes tipos de conocimiento - el físico y el lógico-matemático - que se elaboran a través de acciones y experiencias complementarias - acciones sobre objetos que conducen al conocimiento de los mismos (físicas) y acciones sobre objetos que introducen características que ellos no tenían previamente (lógico-matemáticas) - que, a su vez, sirven de soporte a los dos tipos de abstracción - empírica y reflexiva - necesarios para su construcción, habremos puesto de relieve los conceptos básicos de la concepción piagetiana del aprendizaje que se suelen utilizar para fundamentar los principios de enseñanza de las matemáticas. 

De ella se deduce, por ejemplo, la tesis de la imposibilidad de enseñar el número pues éste tiene que ser reinventado a través de la construcción de su estructura lógico-matematica (síntesis del orden y de la inclusión jerárquica) mediante el establecimiento de todo tipo de relaciones con toda clase de materiales (Kamii, 1984:18). La distinción entre conocimientos sociales, físicos y lógico-matemáticos ayuda precisamente a discernir los objetivos específicos de las actividades escolares y a no caer en la confusión de creer que, porque proponemos a nuestros alumnos que utilicen los signos numéricos o que dibujen formas geométricas, les estamos planteando actividades que favorecen el desarrollo de su conocimiento lógico-matemático. Nos es útil también para entender el verdadero papel que deben de jugar las actividades de manipulación física de materiales en su construcción y la necesidad de introducir situaciones de aprendizaje que conduzcan a la reflexión sobre las acciones realizadas, al contraste entre lo que se preveía que iba a ocurrir y lo que realmente ocurrió, etc. Puede ser útil, como vemos, para ir especificando principios de procedimiento que nos guiarán a los docentes en la toma de decisiones en el aula, principios que utilizaremos como hipótesis para introducir cierta racionalidad en nuestros esquemas metodológicos. 

Ahora bien, eso no nos debe de conducir a realizar afirmaciones tajantes, como las hace Kamii, sobre si tal método es mejor que otro, basándonos únicamente en consideraciones generales sobre la construcción de los conocimientos y la autonomía intelectual. Me explico: cuando Kamii indica, por ejemplo, que hay dos maneras de pedir a los niños que comparen dos conjuntos, pidiéndoles que hagan un juicio sobre la igualdad o desigualdad de conjuntos que ya estén hechos, o pidiéndoles que hagan un conjunto y afirma que el segundo método es mucho mejor que el primero porque en este caso el motivo que tiene el niño para compararlos estriba en que el adulto desea una respuesta (como si no se pudiese decir lo mismo en el caso de la construcci6n del conjunto) y porque comparar conjuntos ya hechos es una actividad pasiva en la que el niño está limitado a solo tres posibles respuestas (como si la pasividad de una actividad dependiese únicamente del número de posibles respuestas), pienso que se olvida del hecho de que las situaciones de aprendizaje se deben de plantear variando el contexto en el que se utiliza el concepto u operación a construir y que, por tanto, tan adecuado puede ser un método como el otro pues su validez didáctica depende de si es capaz o no de activar los procesos de razonamientos necesarios para superar el problema, la dificultad percibida en la situación planteada por el docente y no de las consideraciones generales que ella hace. 

El segundo principio psicopedagógico que Piaget avanzó se refiere a que, como una buena parte de las estructuras que empleamos cuando intentamos resolver de modo activo un problema permanece inconsciente, esto es, que somos capaces de hacer y de comprender en acción más que de lo que podemos expresar verbalmente, es preciso plantear en las aulas situaciones de aprendizaje que ayuden a la toma de conciencia de los propios procesos de razonamiento. Principio que vuelve a poner de manifiesto la insuficiencia de las situaciones de acción (física o mental) si no se ven complementadas por situaciones que conduzcan a la formulación de las acciones posibles o reales sobre los objetos. Esto se convertirá en realidad si programamos actividades de intercambio de ideas y de mensajes (orales o escritos) entre emisores y receptores que deben ser elaborados e interpretados, incluso independientemente del juicio del docente. Sin embargo, tampoco creo que esto último deba convertirse en dogma, como hace Kamii, en función del hecho de que si éste interactúa con sus alumnos refuerza la heteronomía de los mismos, pues pienso que el docente puede asumir perfectamente el papel tanto de emisor como de receptor para resaltar las posibles contradicciones en la elaboración e interpretación de los mensajes y, todo ello, en un marco que favorezca la autonomía del alumnado. 

En este punto es donde se pone de manifiesto la mayor debilidad de las posiciones piagetianas en la escuela. Por carecer de un tratamiento adecuado del intercambio linguístico y por asignar un papel subordinado al lenguaje en el desarrollo mental se tiende a insistir, en los planteamientos pedagógicos de sus seguidores, sobre la crítica al excesivo hincapié que se hace en los primeros años de la infancia en la representación con signos y a defender además la tesis de que primero se construye el conocimiento lógico-matemático y sólo después se tiene la posibilidad de representarlo mediante símbolos o signos. Un planteamiento que olvida que los modelos matemáticos constituyen modelos explícitos expresados en un lenguaje particular que satisface limitaciones de empleo y comunicación y que, para que aparezca un modelo explícito, no basta con situar al sujeto ante una situación que quiera tenga la posibilidad de modificar utilizando sus razonamientos, sino que hace falta que la describa en un lenguaje convencional que conoce o que debe construir y que pueda utilizar dicha descripción para realizar predicciones válidas y para explicarse). Como la elaboración y utilización de signos y símbolos, esquemas y diagramas, códigos y etiquetas,..., favorece la reflexión sobre las acciones y ayuda a la construcción de los conocimientos lógico-matemáticos, dado que conduce a establecer determinadas coordinaciones entre las acciones que sin su concurso no se realizarían, su importancia didáctica en la enseñanza de las matemáticas es crucial. 

Asignar, por tanto, a los signos hablados y escritos el papel de conocimiento superficial me parece que es claramente un error que, por otro lado, limita enormemente las posibilidades didácticas de otros principios que si asumen los piagetianos, como pueda ser el de animar al niño a intercambiar ideas con sus compañeros, Este principio y el de comprender cómo piensa el niño e intervenir de acuerdo con lo que parece estar pasando por su cabeza pierden gran parte de su eficacia didáctica si se asume que la intervención docente se debe de limitar a alentar el intercambio de ideas. En un platillo de la balanza se sitúa el refuerzo y/o la corrección de las respuestas por parte del docente y en el otro el favorecer el intercambio, afirmándose que hay que evitar lo primero, renunciando incluso a preguntar o a emitir un feedback directo sobre las respuestas, y que hay que alentar lo segundo. Sin embargo, en numerosas ocasiones este intercambio sólo se puede dar a instancias del profesor, en base a preguntas formuladas por él mismo o mediante situaciones ideadas expresamente para que los intercambios se tengan que dar, Explicaré esto con un ejemplo, En una situación de reparto, que Kamii cita precisamente para poner de manifiesto cuál es la postura correcta del maestro, ante la pregunta de un niño (¿podemos coger seis?), aquél contesta con otra (¿crees que esa idea funcionará?) y tras realizar los niños la operación y ver que aún sobraban elementos a repartir, se limita a esperar nuevas sugerencias y a dejarles utilizar otro criterio (coger cada uno tres más) para más adelante, cuando pregunta cuántos cogieron en total y no obtiene ninguna respuesta (tipo de pregunta que, por cierto, ella misma critica previamente), sabiamente, no sigue con la lección. Pues bien, si en vez de asumir esta postura hubiese animado a que se formulasen las sucesivas acciones y estados (si repartimos seis a cada uno no sobran tantas) y hubiese procurado que se anticipase lo que iba a ocurrir en otros casos (si cogemos más, ¿sobrarán menos?) es muy posible que el desarrollo de la lección hubiese sido distinto y que, garantizando las consideraciones generales sobre la autonomía intelectual, se hubiese logrado un mejor acercamiento a la respuesta correcta. 

El último principio psicopedagógico que Piaget propuso en sus Observaciones sobre la educación matemática hacía referencia a que, como las matemáticas formales utilizan estructuras que pueden ser muy diferentes de las empleadas en las matemáticas informales y naturales de los niños, debemos desarrollar una nueva estructura, intermedia, que refleje una coordinación satisfactoria entre ambas. Precisamente por ello hay que dejar la formalización para el final, para sistematizar las nociones previamente adquiridas: la formalización se nos aparece como algo que ha sido preparado y hecho progresivamente necesario por la propia construcción de estas estructuras inicialmente intuitiva. Pienso que esto no nos debe conducir, ni mucho menos, a asumir, como hacen Kamii y DeVries (1980), que es inútil tratar de organizar específicamente el contenido para los niños basándose en el argumento de que todo lo que les decimos o les enseñamos es asimilado por ellos de manera muy diferente a nuestras nociones de adulto. Antes bien, y precisamente basándome en el mismo argumento, yo deduzco la necesidad de organizar específicamente el contenido lógico-matemático, aunque, claro está, no para transmitirlo y presentarlo directamente de manera formalizada, sino para idear y plantear situaciones de aprendizaje, en función de dicha organización, que favorezcan el desarrollo de esas nuevas estructuras que reflejan la coordinación entre las iniciales e intuitivas y las finales y formales. Renunciar a organizar el contenido específico a tratar en un curso dentro de las habituales programaciones del profesorado supone renunciar a ofrecer a los alumnos las situaciones y los materiales adecuados que la vida cotidiana no aporta sistemáticamente (de ahí las insuficiencias de los métodos activos) para favorecer la construcción de las teorías y conceptos matemáticos más abstractos. 

Por otro lado, dicha afirmación es contradictoria con otras que realizan al discutir la validez o no de determinados materiales para la “enseñanza” del número. Así, Kamii (1984) rechaza la utilización de las regletas Cuisenaire porque, como el número supone la cuantificación de los objetos discretos, no puede enseñarse a través de la longitud, a través de cantidades continuas, y las regletas lo son. Está claro que, al menos en este caso, está utilizando una idea organizadora del contenido a abordar para deducir materiales adecuados a su planteamiento. De la definición del número en términos piagetianos se desprende una determinada organización del conjunto de tareas a programar (por cierto, que de otras caracterizaciones sí se deducen tareas en las que las regletas sí cumplen un papel absolutamente adecuado) y, por tanto, de los contenidos específicos que se imparten en las instituciones escolares, por lo que no tiene sentido afirmar en otro lugares que ninguna lista de contenido organizado ayudará a hacer conexiones entre las ideas y a construir un sistema de ideas coherente e interesante. Es más, el propio Piaget nos ha enseñado que, como separar el proceso de aprendizaje de lo que se aprende es un error, para comprender cómo aprende un niño el número, tenemos que estudiarlo, tenemos que tener una comprensión más profunda de lo que es, tenemos, por tanto, que organizar mejor los contenidos a impartir. 

Con respecto a la idea de que no se pueden presentar los contenidos de manera formalizada desde un principio, basta con un ejemplo para mostrar que, desgraciadamente esto se sigue haciendo así. Cuando se plantea al profesorado de primaria que multipliquen o dividan dos fracciones sencillas (1/2 y 1/3, por ejemplo) sin recurrir a los algoritmos que conocen, basándose únicamente en acciones sobre papel cuadriculado, comprueba uno con asombro cómo, habitualmente, no se sabe explicar el procedimiento para llegar a la solución. Si ni el mismo profesorado ha tenido la ocasión de comprender en acción lo que supone la multiplicación y la división de fracciones, es imposible pretender que sus alumnos puedan comprender dichas operaciones de otra forma que no sea como trucos sin sentido que, eso sí, funcionan. Este ejemplo nos sirve también para resaltar la idea de basarnos en los conocimientos previos de los alumnos (en este caso, los relacionados con la multiplicación y división de naturales) que inevitablemente pondrán en juego ante cualquier situación que les planteemos, siempre y cuando les demos la ocasión para que los manifiesten. Utilizar la idea de reparto, de ver cuántas veces contiene el dividendo al divisor, sería suficiente para resolver la división entre esas fracciones pero, como hemos visto, no se suelen tener en cuenta estos procedimientos intuitivos de resolución que se podrían utilizar, explicando directamente la manera de resolver formalmente dichas operaciones e impidiendo así que se pongan de manifiesto los modelos implícitos de actuación sobre los que construir los explícitos modelos matemáticos formales. Para terminar, querría resaltar el hecho de que las implicaciones de la teoría piagetiana para la fundamentación de una teoría curricular, y de una práctica consecuente con la misma en el campo de la enseñanza de las matemáticas requiere el desarrollo de una didáctica específica que tenga en consideración tanto los aspectos estructurales, dependientes de la teoría de los estadios, como de los funcionales que no dependen de ella, pero sin pensar que nos basta con unos principios generales deducidos del constructivismo piagetiano para resolver los complejos y perentorios problemas que encierra la pretensión de enseñar matemáticas.